loading...
1. PENDAHULUAN
Dalam dua bab terakhir telah kita lihat penggunaan distribusi chi – khuadrat untuk berbagai keadaan. Bagian 6 bab XI, melukiskan guna distribusi untuk menaksir simpangan baku sedangkan dalam bagian 16 bab XII, distribusi chi – kuadrat telah digunakan untuk menguji – homogenitas varians beberapa populasi.
Masih ada beberapa persoalan lain yang dapat diselesaikan dengan mengambil manfaat distribusi chi – kuadrat ini, diantaranya yang akan dibicarakan dalam bab ini adalah:
a) Menguji proporsi untuk data multinom
b) Menguji kesamaan rata-rata distribusi poisson
c) Menguji independen antara dua faktor di dalam daftar kontingensi B X K.
d) Menguji kesesuaian antara data hasil pengamatan dengan model distribusi dari mana data itu diduga diambil dan
e) Menguji model distribusi berdasarkan data hasi pengamatan.
2. MENGUJI PROPORSI DATA MULTINOM
Misalkan sebuah eksperimen menghasilkan peristiwa-peristiwa atau kategori-kategori A1, A2, ....., Ak yang saling terpisah masing-masing dengan peluang P1 = P(A1), = P(A2), ....., Pk = P(Ak).
Akan diuji pasangan hipotesis
H0 : Pi = Pi0, i = 1, 2, ....., k dengan Pi0 sebuah harga yang diketahui.
H1 : Pi ≠ Pi0
Disini, tentu saja ∑Pi = ∑Pi0 = 1
Pengujian yang ditempuh akan menggunakan data sebuah sampel acak berukuran n yang didalamnya ada O1 dari kategori kesatu (A1), O2 dari kategori (A2), ....., Ok dari kategori ke k (Ak).
Dengan harga Pi0 yang diberikan, kita dapat menghitung masing-masing frekuensi yang diharapkan E1 = nP10, E2 = nP20, ....., Ek = nPk0.
Jelas bahwa O1 + O2 + ..... + Ok = E1 + E2 + ..... + Ek = n. Harga-harga O1, O2, ....., Ok merupakan nilai-nilai yang nampak sebagai hasil pengamatan sedangkan E1, E2, ....., Ek merupakan nilai-nilai yang diharapkan terjadi atau nilai-nilai teoritik.
Agar mudah diingat, adanya kategori Ai, hasil pengamatan Oi dan hasi yang diharapkan Ei, sebaiknya disusun dalam daftar sebagai berikut:
Kategori A1 A2 ..... Ak
Pengamatan O1 O2 ..... Ok
Diharapkan E1 E2 ..... Ek
Untuk menguji pasangan hipotesis diatas, digunakan statistik:
XIII (1) ......................
Bentuk lain untuk rumus diatas adalah:
XIII (2) ......................
Ternyata bahwa statistik diatas berdistribusi chi – kuadrat dengan dk = (k – 1). Kriteria pengujian adalah: tolak H0 jika X2 ≥ X2 (1 – α) (k – 1) dengan α = taraf nyata untuk pengujian. Dalam hal lainnya, H0 diterima.
Contoh:
Kita tahu bahwa peluang nampaknya salah satu permukaan dadu homogin masing-masing = 1/6. Sebuah eksperimen telah dilakukan sebanyak 120 kali dengan sebuah dadu dan menghasilkan 16 muka mata 1, 24 mata 2, 23 mata 3, 15 mata 4, 17 mata 5 dan 25 mata 6.
Akan diuji apakah dadu tersebut homogin ataukah tidak, yaitu akan diuji hipotesis:
H0 : P1 = P2 = ..... = P0 = 1/6
H1 : paling sedikit satu tanda sama dengan tidak berlaku.
Jika H0 benar, yakni apabila dadu itu homogin, kita harapkan akan didapat:
A1 (muka dengan mata satu) = 120 x 1/6 = 20,
A2 (muka dengan mata dua) = 120 x 1/6 = 20,
•
•
•
An (muka dengan mata enam) = 120 x 1/6 = 20.
Muka A1 A2 A3 A4 A5 A6
Pengamatan 16 24 23 15 17 25
Diharapkan 20 20 20 20 20 20
Dengan rumus XIII (1) didapat:
Dengan α = 0.05 dan dk = 5, dari tabel distribusi chi – kuadrat didapat X2 0.95 = 11.1 yang jelas lebih besar daripada X2 = 5.00
Hasil pengujian tak berarti atau non signifikan dan hipotesis H0 di terima sehingga dapat kita simpulkan bahwa dadu itu dibuat dari bahan yang homogin.
Contoh:
Dalam suatu eksperimen genetika menurut Mendell telah diketemukan bahwa semacam karakteristik diturunkan menurut perbandingan 1 : 3 : 3 : 9 untuk kategori A, B, C, dan D. Akhir-kahir ini dilakukan 160 kali pengamatan dan terdapat 5 kategori A, 23 kategori B, 32 kategori C dan 100 kategori D. Dengan menggunakan α = 0.05 apakah data diatas menguatkan genetika tersebut?
Jawab:
Berdasarkan teori, diharapkan 1/16 x 160 = 10 kategori A, masing-masing 30 kategori B dan C dan 90 kategori D. Data hasil pengamatan dan hasil yang diharapkan adalah sebagai berikut:
Kategori A B C D
Pengamatan 5 23 32 100
Diharapkan 10 30 30 90
Dari rumus XIII (1) didapat:
Dari tabel distribusi chi – kuadrat diperoleh X2 0.95(3) = 7.81 .Sehingga pengujian memperlihatkan hasil yang tidak berarti dan tidak ada alasan untuk tidak mempercayai teori yang telah ditemukan.
Sebagai hal khusus dari data multinom ialah data binom yang didapat apabila banyak kategori k = 2. Jika dalah hal ini kedua kategori disebut kategori I dan kategori II dengan peluang terjadinya kategori I dan II masing-masing π dan (1 – π), maka untuk sebuah sampel acak berukuran n diantaranya didapat x buah kategori I, dapat dibuat daftar sebagai berikut:
Kategori I II Jumlah
Pengamatan x n – x n
Diharapkan nπ n (1 – π) n
Statistik yang digunakan untuk menguji hipotesis H0 : π = π0 melawan H1 : π ≠ π0 ialah:
XIII (3) ......................
Dan tolak H0 jika X2 (1 – α) (1) ; sedangkan dalam hal lainnya H0 diterima.
Kita lihat bahwa distribusi chi – kuadrat yang digunakan hanya mempunyai derajat kebebasan satu. Ini mengakibatkan terlalu sering terjadinya penolakan H0 yang seharusnya diterima apabula rumus diatas digunakan. Selain daripada itu, rumus XIII 93) adalah pengkontinuitasan data diskrit yang dengan sendirinya harus diadakan penyesuaian seperlunya.
Khusus untuk hal ini, yaknmi dalam hal data binom dimana digunakan distribusi chi – kuadrat dengan dk satu, rumus XIII (3) perlu diperbaiki dengan menggunakan koreksi kontinuitas, yaitu harga mutlak | x – n π0 | harus dikurangi dengan setengah. Jadi rumus yang dipakai adalah:
XIII (4) ......................
Contoh:
Diduga bahwa 50 % dari semacam kacang bentuknya keriput dan 50 % lagi halus. Pengamatan dilakukan terhadap sebuah sampel acak terdiri atas 80 butir kacang dan terdapat 56 keriput sedangkan sisanya halus.
Dalam taraf 0.05 dapatkah kita menyokong dugaan tersebut?
Jawab:
Bentuk Keriput Halus
Pengamatan 56 24
Teoritis 40 40
Dengan π0 = ½ maka rumus XIII (4) memberikan:
Pengujian memberikan hasil yang sangat berarti sehingga kita tidak bisa menerima dugaan tersebut.
3. MENGUJI KESAMAAN RATA-RATA POISSON
Misalkan ada k (k ≥ 2) buah distribusi poisson dengan parameter λ1, λ2, ....., λk. Akan tetapi diuji pasangan hipotesis:
H0 : λ1 = λ2 = ....., = λk.
H1 : paling sedikit satu tanda sama dengan tidak berlaku.
Dari setiap populasi diambil sebuah sampel acak, berukuran n1 dari populasi kesatu, n2 dari populasi kedua dan seterusnya berukuran nk dari populasi ke – k. Untuk tiap sampel dihitung banyak peristiwa yang mengikuti poisson. Jika banyak peristiwa ini dinyatakan dengan x1, x2, ...., xk, maka rata-rata-nya :
Statistik yang digunakan untuk menguji hipotesis H0 adalah:
XIII (4a) ......................
Dan tolak H0 jika X2 ≥ X2 (1 – α) (k – 1)
Dalam hal lainnya H0 diterima.
Contoh:
Lima orang sekretaris bertugas untuk menyalin data ke sebuah daftar yang telah disediakan. Misalkan bahwa banyaknya salah menyallin untuk setiap daftar berdistribusi poisson masing-masing dengan rata-rata λ1, λ2, ....., λ5. Dari hasil salinan tiap sekretaris diambil sampel acak berukuran empat dan dicatat banyaknya kesalahan dalam tiap daftar. Data ini akan digunakan untuk menguji hipotesis:
H0 : λ1 = λ2 = λ3 = λ4 = λ5
H1 : paling sedikit satu tanda sama dengan tidak berlaku.
Bersama-sama dengan satuan-satuan yang diperlukan, didapat data berikut:
Sekretaris Kesalahan tiap daftar Banyak kesalahan (xi)
I 2, 0, 3, 3, 2 10
II 0, 0, 2, 1, 2 5
III 1, 1, 2, 3, 2 9
IV 2, 1, 1, 1, 4 9
V 2, 3, 0, 3, 3 11
Jumlah - 44
Dari kolom ketiga didapat
Sembuh Tidak sembuh Jumlah
Kelompok A (diobati) 78 17 95
Kelompok B (tak diobati) 62 33 95
Jumlah 140 50 190
Dari rumus XIII (9) didapat:
Untuk taraf nyata 0.05 dan dk = satu, maka X2 0.95 (1) = 3.84. Kita lihat bahwa pengujian berarti pada taraf 0.05. tetapi jika α = 0.01 maka X2 0.99 (1) = 6.63 sehingga H0 diterima pada taraf 0.01.
Pengobatan barangkali berarti dan penelitian lebih lanjut dianjurkan untuk dilakukan.
Contoh:
Yang berikut adalah data hasil pengumpulan pendapat masyarakat terhadap dua calon pemimpin A dan B.
Pemimpin
Ya Tidak Jumlah
A 37 22 59
B 18 7 25
Jumlah 55 29 84
Untuk menguji hipotesis bahwa tidak terdapat perbedaan yang nyata mengenai pendapat masyarakat terhadap kedua calon itu, diperlukan nilai:
Dalam kedua taraf nyata α = 0.01 dan α = 0.05 hipotesis nol diterima.
4. UJI KECOCOKAN
Dalam uraian-uraian terdahulu telah sering dinyatakan atau dimisalkan bahwa fenomena mempunyai atau berasal dari populasi yang mengikuti model atau distribusi tertentu, misalnya: normal, poisson, binom ataupun lainnya. Sekarang akan dilakukan pengecekan berdasarkan data hasil pengamatan, apakah model populasi yang diandaikan betul-betul dapat dijamin atau dipenuhi. Pengecekan ini, akan dilakukan melalui pengujian apakah ada kecocokan antara hasil pengamatan dengan populasi yang diandaikan. Sebenarnya hal ini telah dilakukan antara lain dalam bagian 2 mengenai populasi multinom dan binom.
Untuk melakukan uji kecocokan ini akan dibandingkan antara frekuensi hasil yang sebenarnya diamati dengan frekuensi yang diharapkan berdasarkan model yang diandaikan dan untuk ini digunakan rumus XIII (1). Nilai-nilai parameter populasi yang diasumsikan yang dipakai untuk menghitung frekuensi diharapkan atau frekuensi teoritik, ditaksir berdasarkan nilai-nilai statistik sampel yang takbias. Misalnya rata-rata μ ditaksir oleh x dan varian σ2 oleh s2. Distribusi chi – kuadrat yang digunakan, sebagai akibat penggunaan rumus XIII (1), mempunyai dk = (k – g – 1) dimana k = banyak kategori atau kelas interval dan g = banyak parameter yang ditaksir. Demikianlah misalnya untuk menguji kecocokan populasi normal, karena ada dua parameter yang ditaksir, ialah μ dan σ2, maka dk untuk distribusi chi – kuadrat sama dengan (k – 3). Untuk menguji kecocokan distribusi poisson distribusi chi – kuadrat yang digunakan akan mempunyai dk = (k – 2).
4.1. Uji kecocokan distribusi binom
Dalam bagian 2, bab VIII telah dapat didistribusi binom:
Dapat dilihat bahwa di sini hanya ada satu parameter yang perlu ditaksir ialah π, sehingga distribusi chi – kuadrat akan mempunyai dk = (k – 2).
Sekarang marilah kita uraikan dengan contoh:
Lima mata uang dipakai untuk mengundi 1.000 kali. Nampaknya muka G dicatat dan hasilnya seperti berikut:
Banyak muka G 0 1 2 3 4 5
Frekuensi terjadi 36 142 345 289 159 29
Akan ditentukan bentuk distribusi binom yang cocok berdsaarkan data hasil undian diatas.
Kita ketahui bahwa μ = Nπ dengan π = peluang nampaknya muka G disebelah atas. Dari hasil pengamatan didapat rata-rata nampaknya muka G.
Menyamakan 5π dengan 2.48 didapat 5π = 2.48 yang menghasilkan π = 0.496. Diduga distribusi binom berdasarkan data yang diperoleh akan mempunyai persamaan:
loading...
